Sistema de Submissão de Resumos, I Encontro de Iniciação Científica - 2011 (ENCERRADO)

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Soluções periódicas para sistemas lineares planares
Vinicius Esteves Neves, Ana Oliveira Mereu

Última alteração: 2011-09-24

Resumo


Introdução

    Repetições ocorrem frequentemente no dia a dia das pessoas: toda manhã o Sol nasce, todo dia primeiro de janeiro celebra-se o Ano Novo, a cada quatro anos um presidente é eleito, entre outros. Todos estes fenômenos possuem um fator em comum, a periodicidade.

   Este projeto é voltado àqueles fenômenos periódicos que são descritos por uma função real cujo comportamento é governado por um sistema não-linear de equações diferenciais ordinárias (EDO's).

   Uma função  real x é periódica de período T se x(t + T) = x(t), para todo t real, onde t é uma variável tempo.

  Um ciclo limite é uma solução periódica isolada no conjunto de soluções periódicas do sistema de EDO's.

  Dentre os problemas propostos no Segundo Congresso Internacional de Matemáticos encontra-se a segunda parte do 16º problema de Hilbert: Determinar o número máximo de ciclos limites que pode admitir um campo de vetores planares

x’ = P(x; y); y’ = Q(x; y)

onde P e Q são polinômios reais nas variáveis x e y.

  Esta permanece sendo uma questão aberta na teoria qualitativa de sistemas diferenciais planares polinomiais.

  Um método conhecido na literatura para o estudo das órbitas periódicas é o método Averaging.

  Resumidamente, a Teoria de Averaging estabelece uma relação entre soluções de um sistema diferencial não autônomo dependente de pequeno parâmetro, e soluções do sistema diferencial averaged autônomo.

Objetivos

  Os objetivos deste projeto foram estabelecer cotas inferiores para o número de ciclos limites de alguns sistemas diferenciais polinomiais planares utilizando o método de Averaging, bem como:

- Aprender a fazer pesquisa bibliográfica.

- Despertar no aluno o interesse pela matemática.

- Possibilitar ao aluno não só o preenchimento das lacunas em sua formação, mas também aprimorar seu espírito crítico.

Metodologia

Os estudos teóricos focados na Teoria Qualitativa das Equações Diferenciais foram realizados através de estudos de livros e trabalhos, sob tutela da orientadora. Foram realizadas reuniões periódicas para resoluções de dúvidas e orientações de estudos.

Resultados

  Na primeira etapa do projeto, foi desenvolvido um estudo focado na Teoria Qualitativa das Equações Diferenciais.

  Na segunda etapa exibimos exemplos de sistemas não-lineares planares que atingem determinadas cotas inferiores para o número de ciclos limites. Utilizamos, para isto, o método de Averaging.

Conclusão

  O estudo teórico foi de fundamental importância e serviu como embasamento para o posterior estudo do Método de Averaging e suas aplicações, onde finalizamos nosso trabalho com êxito.